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\setlength{\parindent}{0em}

\date{}

%--------------------------------

%Hier ist Platz für eigene Befehle. Einige sind schon vorgegeben.
\newcommand{\brackets}[1]{\left(#1\right)}
\newcommand{\setbr}[1]{\left\{#1\right\}}
\newcommand{\lpow}[1]{\!\left(\!\left(#1\right)\!\right)}
\newcommand{\pow}[1]{\!\left[\!\left[#1\right]\!\right]}
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\newcommand{\C}[0]{\mathbb{C}}
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\def\K{\mathbb{K}}

\DeclareMathOperator{\id}{id}
\DeclareMathOperator{\Abb}{Abb}


%--------------------------------

\usepackage{todonotes}
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\newcommand{\rot}[1]{{\color{red} #1}}


\begin{document} 


	
	\vspace{-3.5cm}
	
	\small \vspace{-1mm} Prof.\ Dr.\ Salma Kuhlmann,\hfill Universität Konstanz\\ Dr.\ Lothar Sebastian Krapp,\hfill Fachbereich Mathematik und Statistik \\ Michele Serra, Sarah Tanja Hess \hfill Sommersemester~2021
	
	\hrulefill

	
	\begin{center}
		\bfseries \small Übungen zur Vorlesung Algebra II \\
		\normalsize Blatt 2 \\
	\end{center}
	
	\noindent\textbf{Abgabe von:} Mein Name
	\\
	\noindent\textbf{Tutor:} Mein Lieblingstutor
	%Hier eigenen Namen und Tutor/Tutorin eintragen.
	
	\vspace{-1.36cm}
	
	\begin{flushright}
		\begin{tabular}{|c|c|c|c||c|}
			\hline
			1&2&3&4&$\Sigma$\\\hline
			{\color{red}			
			%Punktzahl Aufgabe 1
			}
			&{\color{red}			
			%Punktzahl Aufgabe 2
			}
			&{\color{red}			
			%Punktzahl Aufgabe 3
			}
			&{\color{red}			
			%Punktzahl Aufgabe 4
			}
			&{\color{red}
			%Gesamtpunktzahl
			}
			\\
			\hline
			
			%Nach Korrektur werden hier die Punktzahlen eingetragen.
	\end{tabular}
	\end{flushright}
	\
	
	\textbf{Allgemeiner Hinweis:} Für die Bearbeitung werden alle Resultate bis einschließlich Vorlesung~4 vorausgesetzt.
	 Freiwillige Zusatzaufgaben sind mit einem * gekennzeichnet. Alle Aussagen sind stets zu beweisen.
	\\
	
	\textbf{Aufgabe 2.1} \hfill 	\textbf{[1+3 Punkte]}	
	\\[3pt]
	Sei $R$ ein kommutativer Ring mit $1$, $M$ ein $R$-Modul und $S,T$ Untermoduln von $M$.
	\begin{enumerate}[(a)]
		\item Zeigen Sie $(S+T)/T \simeq S/(S\cap T)$.
		\item Beweisen Sie die Äquivalenz der folgenden Aussagen:
				\begin{enumerate}[(i)]
						\item $M=S\oplus T$
						\item $M=S+T$ und $S\cap T=\{0\}$
						\item Für jedes $m\in M$ existiert ein eindeutiges $s\in S$ und ein eindeutiges $t\in T$ mit $m=s+t$.
				\end{enumerate}
	\end{enumerate}
	
	\textbf{Lösung:} 

	\
	
	\textbf{Aufgabe 2.2} \hfill 	\textbf{[2+2 Punkte]}	
		\\[3pt]
	Sei $R$ ein kommutativer Ring mit $1$, $M$ ein $R$-Modul und $N$ ein Untermodul von $M$.
	\begin{enumerate}[(a)]
		\item Zeigen Sie, dass falls $M$ endlich erzeugt ist, auch $M/N$ endlich erzeugt ist.
		\item Zeigen Sie, dass falls $N$ und $M/N$ endlich erzeugt sind, auch $M$ endlich erzeugt ist.
	\end{enumerate}
	
	\textbf{Lösung:} 

	\
	
	\textbf{Aufgabe 2.3} \hfill 	\textbf{[1,5+1,5+1 Punkte]}	
	\\[3pt]
	Sei $R$ ein kommutativer Ring mit $1$, $M,N$ $R$-Moduln und $\phi\colon M \to N$ ein $R$-Moduln-Homomorphis\-mus.
	\begin{enumerate}[(a)]
		\item Zeigen Sie, dass $M_{\mathrm{tor}}$ ein Untermodul von $M$ ist.
		\item Beweisen Sie $(M\oplus N)_{\mathrm{tor}}=M_{\mathrm{tor}}\oplus N_{\mathrm{tor}}$.
		\item Beweisen Sie $\phi(M_{\mathrm{tor}})\subseteq N_{\mathrm{tor}}$.
	\end{enumerate}
	
	\textbf{Lösung:} 
	
	\
	
	\newpage
	\textbf{Aufgabe 2.4*} \hfill 	\textbf{[4 Punkte]}
	\\[3pt]
	Sei $R$ ein integer kommutativer Ring mit $1$, $M$ ein $R$-Modul und $S\subseteq M$ torsionsfrei. Zeigen Sie, dass $M$ genau dann frei mit Basis $S$ ist, wenn $M=\bigoplus\limits_{s\in S}Rs$ gilt.
	
	\textbf{Lösung:} 				
	
	\

	\vfill
	\textbf{Abgabe:} Bis \textbf{Donnerstag, den 06.\ Mai 2021, um 10:00 Uhr}, direkt an den Tutor. Wir bitten die allgemeinen Hinweise zur Abgabe von Lösungen (siehe Homepage) zu beachten.
	
\end{document}